Vad är ett primtal?

Ett primtal är ett tal som endast är delbart med sig själv och 1. Om man kan skriva ett tal som en produkt av flera andra primtalsfaktorer är talet inte ett primtal.

Ett exempel på ett tal som inte är ett primtal är 24. Detta beror på att man kan skriva 24 som en produkt av flera andra primtalsfaktorer enligt:

$24 = 3 * 2 * 2 * 2$, där talen 3 och 2 är primtal.

Primtal

Ett tal p som är ett heltal som är större än 1, (p>1), och inte har några andra positiva delare än 1 och sig själv sägs vara ett primtal. Ett primtal kan endast heltalsfaktoriseras enligt:

$p = 1 * p$

De 10 första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 29.

Tal som inte är primtal och större än 1 kallas för sammansatta tal, och det är tal som kan skrivas med hjälp av minst två andra primtalsfaktorer. Talet 21 är ett exempelvis ett sammansatt tal eftersom det kan skrivas av två primtalsfaktorer (7 och 3).

Minsta gemensamma multipel

En anledning till man vill hitta den minsta gemensamma multipeln är för att kunna skriva ett två eller flera bråktal med en gemensam nämnare.

Ett vanligt sätt att annars hitta en gemensam multipel är att multiplicera de två nämnarna med varandra, men detta behöver nödvändigtvis inte vara den minsta gemensamma multipeln. För att hitta den minsta gemensamma multipel behöver vi studera studera primtalsfaktorerna som bygger upp de två sammansatta talen.

Fördelen med att hitta den minsta gemensamma multipeln är att uttrycket inte behöver bli onödigt stort eller komplicerat. Genom att studera primtalen som bygger upp de två talen kan vi därmed gör att bättre val av multipeln.

Räkneexempel

Vi vill hitta den minsta gemensamma multipeln mellan talen 24 och 42. Hur kan vi hitta den?

En enkel multipel mellan de två talen är $24*42=1008$, men denna är onödigt stor. Vi kan istället hitta den MGM genom att primtalsfaktorisera de två talen:

$24 = 2 * 2 * 2 * 3$

och

$42 = 2 * 3 * 7$

Vi kan i exemplet ovan se att både primtalen 2 och 3 bygger upp de sammansatta talen 24 och 42.

Detta gör att vi kan skriva MGM som innehåller alla gemensamma primtalsfaktorer (som bara skrivs en gång) tillsammans med alla icke gemensamma primtalsfaktorer. Detta ger:

$MGM(24,42) = 2 * 3 * 2 * 2 * 7= 168$

Som du säkert också ser så är denna multipeln väldigt mycket mindre jämfört med 1008 som vi fick tidigare.