Allt om sin, cos och tan

Pluggdriven, 15 februari 2022

I den här artikeln beskriver vi allt om begreppen sin, cos och tan, eller sinus, cosinus och tangens.

De används inom trigonometrin i matematiken för att beräkna en rätvinklig triangels okända länger på sidorna och dess vinklar.

Sambanden mellan triangelns vinklar och sidor

Uttryck för sin, cos och tan

I bilden ovan beskrivs sambanden mellan den rätvinkliga triangelns olika sidor och vinkeln vv. Här används begreppen sinsin, coscos och tantan för att beräkna någon av de okända sidorna aa, bb eller cc.

Uttryckligen brukar man säga “cosinus för vinkeln v” när man exempelvis talar om bc\frac{b}{c}.

Man kan även gå åt andra hållet för att beräkna vinkeln vv om den är okänd. Då behöver man känna till minst två av triangelns sidor för att sedan använda sig an inversen till sin, cos eller tan.

Man brukar skriva inversen till funktionerna som sin1\text{sin}^{-1}, cos1\text{cos}^{-1} och tan1\text{tan}^{-1} eller arcsin\text{arcsin}, arccos\text{arccos} och arctan\text{arctan}.

Sin, Cos och Tan

Triangel med hypotenusa och katetrar markerade

Här i bilen ovan syns de begrepp som används för att beskriva sidorna hos en rätvinklig triangel. De brukar även användas när man arbetar med Pyhtagoras sats, vilket du kan läsa mer om här.

Sin, Cos och Tan är funktioner som används för att ta reda på vinkeln v i triangeln och längden på triangelns sidor. Beroende på vilka av sidorna som är kända använder man någon av funktionerna för att beräkna vinkeln.

En kort repetition av begreppen för triangelns sidor:

  1. Hypotenusan är alltid triangelns längsta sida, vilket även är den diagonala sida som ligger mittemot den räta vinkeln.
  2. Den motstående kateten är den sida som befinner sig längst bort från vinkeln v. Man kan även säga att den ligger mittemot vinkeln v, vilket man hör lite på namnet.
  3. Den närliggande kateten är den sida eller katet som ligger närmast vinkeln v, vilket man även hör lite på namnet.

Nedan följer nu beskrivningar på definitioner av sin, cos och tan när vi nu känner till namnen på triangelns sidor.

Sinus

Uttryck för sinus

Med hjälp av sinus kan vi beräkna längden för antingen den motstående kateten eller hypotenusan om vi känner till vinkeln vv.

Vi använder oss då av formeln ovan för att lösa ut antingen aa eller cc.

På samma sätt kan vi med inversen för sinus, vilket betecnknas arcsinarcsin eller sin1sin^{-1}, även beräkna vinkeln vv om den är okänd.

För sin gäller alltså funktionerna:

sin v=ac\text{sin } v = \frac{a}{c}

v=sin1(ac)v = \text{sin}^{-1}(\frac{a}{c})

Räkneexempel: sinus

Rätvinklig triangel med okänd vinkel v

Bestäm vinkeln vv i den rätvinkliga triangeln.

I triangeln ser vi att längderna för den motstående katetern och hypotenusan är 55 respektive 1010.

Det gör att vi kan använda oss av inversen av sinus för att bestämma vinkeln vv med formeln:

v=sin1(510)v = \text{sin}^{-1}(\frac{5}{10})

Om vi slår in HL på räknaren får vi att:

v=30°v = 30°

Svar: Vinkeln vv i triangeln är 30°30°.

Cosinus

Uttryck för cosinus

Med hjälp av cosinus kan vi beräkna längden för antingen den närliggande kateten eller hypotenusan om vi känner till vinkeln vv.

Vi använder oss då av formeln ovan för att lösa ut antingen bb eller cc.

På samma sätt kan vi med inversen för cosinus, vilket betecknas arccosarccos eller cos1cos^{-1}, även beräkna vinkeln vv om den är okänd.

För cos gäller alltså funktionerna:

cos v=bc\text{cos } v = \frac{b}{c}

v=cos1(bc)v = \text{cos}^{-1}(\frac{b}{c})

Räkneexempel: cosinus

Rätvinklig triangel med kateter x

Beräkna längden för sidan xx i den rätvinkliga triangeln.

Vi ser att xx motsvarar den närliggande kateten och att hypotenusan har längden 1616 i vinkeln 60°60°.

Då kan vi använda oss av formeln för cosinus på följande sätt:

cos 60°=x16\text{cos }60° = \frac{x}{16}

Först beräknar vi cos 60°\text{cos }60° på räknaren och får svaret 0,50,5

Sedan löser vi ut xx genom stegen:

0,5=x160,5 = \frac{x}{16}

x=8x = 8

Svar: Längden för den närliggande kateten är 88 l.e. (längdenheter)

Tangens

Uttryck för tangens

Med funktionen tangens kan vi beräkna längden för antingen den motstående eller närliggande kateten om vi känner till vinkeln vv.

Vi använder oss då av formeln ovan för att lösa ut antingen aa eller bb.

På samma sätt kan vi med inversen för tangens, vilket betecknas arctanarctan eller tan1tan^{-1}, även beräkna vinkeln vv om den är okänd.

För tan gäller alltså funktionerna:

tan v=ab\text{tan } v = \frac{a}{b}

v=tan1(ab)v = \text{tan}^{-1}(\frac{a}{b})

Räkneexempel: tangens

Rätvinklig triangel med okänd vinkel v för tangensuppgift

Beräkna vinkeln uu i triangeln givet sidorna med längderna 2 och 6.

I den här uppgiften har vi fått längden för de två katetrarna, vilket gör att vi kan använda oss av tangensinvers för att räkna ut vinkeln.

Det gör vi med den följande ekvationen:

u=tan1(26)u = \text{tan}^{-1}(\frac{2}{6})

Om vi slår in det på räknaren får vi svaret:

u=tan1(26)18,43°u = \text{tan}^{-1}(\frac{2}{6}) ≈ 18,43°

Svar: Vinkeln uu i triangeln är ungefär 18,43°18,43°.



Hej kära läsare! 🤓

Välkommen till Pluggdriven.se! En plats för dig som vill få pluggtips och förbättra din studieteknik.


Vårt fokus

Vi vill göra ditt pluggande enklare genom att samla all information på ett och samma ställe. Genom vår sida hoppas vi kunna hjälpa dig med dina studiemål.

Vi som ligger bakom sidan heter Lucas och Niklas och har ett stort intresse för att maximera min tid och mina studier. För närvarande är vi masterstudenter på Chalmers Tekniska Högskola.