Allt om potenslagarna

Potenslagarna beskriver olika sätt att förenkla eller göra om potenstal så att de blir lättare att räkna med dem.

Ett exempel på en vanlig potenslag är:

$a^x ⋅ a^y = a^{x+y}$

I den här artikeln beskriver vi hur potenslagarna fungerar och ger exempel på räkneuppgifter där de används i beräkningarna.

Vad är ett potenstal?

En potens eller ett potenstal är ett förkortat sätt att skriva kvoten av ett och samma tal multiplicerat med sig själv ett antal gånger.

En potens består av en bas, vilket är talet som multipliceras, samt en exponent, vilket är antalet gånger som talet multipliceras med sig själv.

Inom matematiken brukar en addition av samma tal förkortas med multiplikation på följande vis:

$3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ⋅ 5$

Ett tal i potens är på samma sätt en metod för att förkorta en multiplikation av samma tal flera gånger, som exempelvis:

$3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3^5$

Alltså kan potensen $a^x$ i bilden ovan uttryckas som $a^x = \underbrace{a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a}_\text{x antal gånger}$

Potenslagarna

Potenslagarna, eller potensreglerna som de även kallas, är bestämmelser om hur man kan omvandla ett potenstal till ett annat. De används oftast för att förenkla uträkningen av ekvationer utan miniräknare, då höga potenstal kan göra uträkningen klurig.

Potenslagarna är bra att memorera utantill då de ofta förekommer i uppgifter med ekvationer inom matematiken. Ju fler man kan minnas desto enklare kommer det vara att lösa kluriga uppgifter som innehåller tal med exponenter. Målet är ofta att komma på hur man bäst kan omvandla ett potenstal till ett annat med hjälp av potensreglerna.

Nedan följer en sammanfattning av potenslagara, som gäller för alla reella tal $x$ och $y$ samt positiva tal $a$ och $b$.

För dessa regler gäller att potensen alltid ska ha samma bas $a$. Alltså gäller $4^2 ⋅ 4^3$ , men inte för $2^3 ⋅ 7^4$.

$a^x ⋅ a^y = a^{x+y}$	Multiplikation av potenser
$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$	Division av potenser
$(a^x)^y = a^{x⋅y}$	Potens av en potens
$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$	Potens med negativ exponent
$a^{\frac{1}{x}} = \sqrt[x]{a}$	Potens med bråk som exponent
$a^1 = a$	Potens med exponenten 1
$a^0 = 1$	Potens med exponenten 0

 

Följande regler kan innehålla tal med olika baser $a$ och $b$:

$(a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x$	Potens av produkt
$(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$	Potens av kvot

Räkneexempel

Nedan följer räkneexempel på hur man använder potenslagarna i praktiken.

Multiplikation av potenser

Skriv talet $4^{-3} ⋅ 4^6$ som en potens

Eftersom båda talen har basen $4$ använder vi oss av potensregeln $a^x ⋅ a^y = a^{x+y}$ vilket ger oss:

$4^{-3} ⋅ 4^6 = 4^{(-3)+6} = 4^3$

Division av potenser

Skriv talet $\frac{2^3}{2^5}$ som en potens

Eftersom båda talen har basen $2$ använder vi oss av potensregeln $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$ vilket ger oss:

$\frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^2$

Potens av en potens

Skriv talet $(6^3)^2$ som en potens

Här använder vi oss av potensregeln $(a^x)^y = a^{x⋅y}$ vilket ger oss:

$(6^3)^2 = 6^{3⋅2} = 6^6$

Potens med negativ exponent

Skriv $\frac{1}{3^2} ⋅ 3^5$ som en potens

Om vi använder potensregeln $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ och regeln för multiplikation får vi att:

$*\frac{1}{3^2} ⋅ 3^5 = 3^{-2} ⋅ 3^5 = 3^{(-2) + 5} = 3^3$*

Potens med negativ exponent

Skriv $(\sqrt{5})^2$ som en potens

Med hjälp av potensregeln $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ och regeln för potens av en potens får vi:

$(\sqrt{5})^2 = (5^\frac{1}{2})^2 = 5^{\frac{1}{2} ⋅ 2} = 5^1 = 5$

Potens av produkt

Beräkna $(2 ⋅ 3)^2$ utan att använda miniräknare

Här använder vi potensregeln $(a ⋅ b)^x = a^x ⋅ b^x$ vilket ger oss:

$(2 ⋅ 3)^2 = 2^2 ⋅ 3^2 = 4 ⋅ 9 = 36$

Potens av produkt

Beräkna $(\frac{6}{2})^2$ utan att använda miniräknare

Här använder vi oss av potensregeln $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$ vilket ger oss:

$(\frac{6}{2})^2 = \frac{6^2}{2^2} = \frac{36}{4} = 9$